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Die Laser-Linienbreite ist die spektrale Linienbreite eines Laser-Strahls. In diesem Artikel werden die neuesten Erkenntnisse zur Entstehung der spektralen Kohärenz und Linienbreite eines Lasers dargestellt.

• Theorie

• Historie: Erste Herleitung der Laser-Linienbreite

• Passive Resonator-Mode: Resonatorabklingzeit

• Passive Resonator-Mode: Lorentz-Linienbreite, Q -Faktor, Kohärenzzeit und -länge

• Aktive Resonator-Mode: Verstärkung, Resonatorabklingzeit, Lorentz-Linienbreite, Q -Faktor, Kohärenzzeit und -länge

• Spektraler Kohärenzfaktor

• Lasende Resonator-Mode: Fundamentale Laser-Linienbreite

• Dauerstrahl-Laser: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste

• Schawlow-Townes-Näherung

• Zusätzliche Mechanismen der Linienverbreiterung und -verengung

• Messung der Laser-Linienbreite

• Dauerstrich-Laser

• Einzelnachweise

Die erste von Menschenhand erschaffene kohärente Lichtquelle war ein „Maser“. Das Akronym MASER bedeutet „Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation“ (auf Deutsch: Mikrowellen-Verstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung). Genauer gesagt war es der Ammoniak-Maser, der auf einer Wellenlänge von 12,5 mm emittiert, welcher 1954 von Gordon, Zeiger und Townes erstmals betrieben wurde.cite-ref-gordon1954-1-0[1] Ein Jahr später leiteten dieselben Autorencite-ref-gordon1955-2-0[2] theoretisch die Maser-Linienbreite her, indem sie die sinnvollen Näherungen machten, dass ihr Ammoniak-Maser

(i) im Dauerstrahl-Betrieb (englisch: „continuous-wave“, cw) arbeitet,cite-ref-gordon1955-2-1[2]

(ii) ein ideales Vier-Niveau-Energieschema besitzt,cite-ref-gordon1955-2-2[2] und

(iii) keine intrinsischen Resonatorverluste erleidet, sondern lediglich Auskoppelverluste durch die Spiegel.cite-ref-gordon1955-2-3[2]

Bemerkenswerterweise basiert diese Herleitungcite-ref-gordon1955-2-4[2] auf rein semi-klassischen Annahmen. Sie beschreibt die Ammoniak-Moleküle als Quanten-Emitter, während klassische elektromagnetische Felder angenommen werden (dagegen keine quantisierten Felder oder Quantenfluktuationen). Daraus resultiert die halbe Halbwertsbreite (englisch: „half-width-at-half-maximum“, HWHM) der Maser-Emissioncite-ref-gordon1955-2-5[2]

Δ Δ ν ν M ∗ ∗ = 4 π π k B T ( Δ Δ ν ν c ∗ ∗ ) 2 P a u s ⇔ ⇔ Δ Δ ν ν M = 2 π π k B T ( Δ Δ ν ν c ) 2 P a u s , {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {M}}^{*}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}\ \Leftrightarrow \ \Delta \nu _{\rm {M}}={\frac {2\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}},}

die hier mit einem Sternchen gekennzeichnet ist und auf die volle Halbwertsbreite (englisch: „full-width-at-half-maximum“, FWHM) Δ Δ ν ν M = 2 Δ Δ ν ν M ∗ ∗ {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {M}}=2\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}} der Maser-Emission umgerechnet wird. k B {\displaystyle k_{\rm {B}}} ist die Boltzmann-Konstante, T {\displaystyle T} ist die Temperatur, P a u s {\displaystyle P_{\rm {aus}}} ist die Ausgangsleistung des Lasers, und Δ Δ ν ν c ∗ ∗ {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}^{*}} und Δ Δ ν ν c = 2 Δ Δ ν ν c ∗ ∗ {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}=2\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}} sind die passiven HWHM- und FWHM-Linienbreiten des verwendeten Mikrowellen-Resonators.

Im Jahr 1958, zwei Jahre bevor Maiman den ersten Laser baute (welcher zunächst als „optischer Maser“ bezeichnet wurde),cite-ref-maiman1960-3-0[3] transferierten Schawlow und Townescite-ref-schawlow1958-4-0[4] die Maser-Linienbreite in den sichtbaren und nah-infraroten Spektralbereich, indem sie die thermische Energie k B T {\displaystyle k_{\rm {B}}T} durch die Photonenenergie h ν ν L {\displaystyle h\nu _{\rm {L}}} ersetzten. h {\displaystyle h} ist die Planck-Konstante und ν ν L {\displaystyle \nu _{\rm {L}}} die Frequenz des Laserlichts. Dieser Transfer beinhaltet die Näherung, dass

(iv) während der Resonatorabklingzeit τ τ c {\displaystyle \tau _{\rm {c}}} ein Photon durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt wird,cite-ref-pollnau2020-5-0[5]

und führt zur Schawlow-Townes-Linienbreite:cite-ref-schawlow1958-4-1[4]

Δ Δ ν ν L , S T ∗ ∗ = 4 π π h ν ν L ( Δ Δ ν ν c ∗ ∗ ) 2 P a u s ⇔ ⇔ Δ Δ ν ν L , S T = 2 π π h ν ν L ( Δ Δ ν ν c ) 2 P a u s . {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L,ST}}^{*}={\frac {4\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}\ \Leftrightarrow \ \Delta \nu _{\rm {L,ST}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}.}

Auch der Transfer vom Mikrowellen- zum optischen Spektralbereich beruht auf einer rein semi-klassischen Grundlage,cite-ref-schawlow1958-4-2[4] ohne die Annahme von quantisierten Feldern oder Quanten-Fluktuationen. Daher basiert die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung komplett auf semi-klassischen physikalischen Annahmencite-ref-gordon1955-2-6[2]cite-ref-schawlow1958-4-3[4] und ist eine vierfache Näherung einer allgemeineren Laser-Linienbreite,cite-ref-pollnau2020-5-1[5] die im Folgenden hergeleitet wird.

Betrachtet wird ein aus zwei Spiegeln bestehender Fabry-Pérot-Resonatorcite-ref-ismailpollnau2016-6-0[6] der geometrischen Länge ℓ ℓ {\displaystyle \ell } , der homogen ausgefüllt ist mit einem aktiven Laser-Medium, das einen Brechungsindex n {\displaystyle n} hat. Wir definieren als Referenz-Situation die passive Resonator-Mode, deren aktives Laser-Medium transparent ist, d. h., es bewirkt weder Verstärkung noch Absorption von Licht.

Licht bewegt sich im Resonator mit der Geschwindigkeit c = c 0 / n {\displaystyle c=c_{0}/n} fort, wobei c 0 {\displaystyle c_{0}} die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Somit sind die Resonator-Umlaufzeit t R T {\displaystyle t_{\rm {RT}}} und der freie Spektralbereich Δ Δ ν ν F S R {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}} gegeben durchcite-ref-ismailpollnau2016-6-1[6]cite-ref-pollnau2020-5-2[5]

t R T = 1 Δ Δ ν ν F S R = 2 ℓ ℓ c . {\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}

Licht in der uns interessierenden longitudinalen Resonator-Mode oszilliert auf der q-ten Resonanzfrequenzcite-ref-ismailpollnau2016-6-2[6]cite-ref-pollnau2020-5-3[5]

ν ν L = q t R T = q Δ Δ ν ν F S R . {\displaystyle \nu _{L}={\frac {q}{t_{\rm {RT}}}}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}.}

Die exponentielle Auskopplungszeit τ τ a u s {\displaystyle \tau _{\rm {aus}}} und die entsprechende Ratenkonstante 1 / τ τ a u s {\displaystyle 1/\tau _{\rm {aus}}} ergeben sich aufgrund der Spiegelreflektionen R i {\displaystyle R_{i}} der beiden Resonator-Spiegel i = 1 , 2 {\displaystyle i=1,2} zucite-ref-ismailpollnau2016-6-3[6]cite-ref-pollnau2020-5-4[5]

R 1 R 2 = e − − t R T / τ τ a u s ⇒ ⇒ 1 τ τ a u s = − − ln ⁡ ⁡ ( R 1 R 2 ) t R T . {\displaystyle R_{1}R_{2}=\mathrm {e} ^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {aus}}}\ \Rightarrow \ {\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}

Die exponentielle intrinsische Verlustzeit τ τ v e r l {\displaystyle \tau _{\rm {verl}}} und die entsprechende Ratenkonstante 1 / τ τ v e r l {\displaystyle 1/\tau _{\rm {verl}}} ergeben sich aufgrund der intrinsischen Resonatorverluste L R T {\displaystyle L_{\rm {RT}}} pro Resonator-Umlauf zucite-ref-pollnau2020-5-5[5]

1 − − L R T = e − − t R T / τ τ v e r l ⇒ ⇒ 1 τ τ v e r l = − − ln ⁡ ⁡ ( 1 − − L R T ) t R T . {\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=\mathrm {e} ^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {verl}}}\ \Rightarrow \ {\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}={\frac {-\ln {(1-L_{\rm {RT}})}}{t_{\rm {RT}}}}.}

Die resultierende exponentielle Resonatorabklingzeit τ τ c {\displaystyle \tau _{c}} und die entsprechende Ratenkonstante 1 / τ τ c {\displaystyle 1/\tau _{\rm {c}}} betragen somitcite-ref-pollnau2020-5-6[5]

1 τ τ c = 1 τ τ a u s + 1 τ τ v e r l = − − ln ⁡ ⁡ [ R 1 R 2 ( 1 − − L R T ) ] t R T . {\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.}

Alle drei exponentiellen Zerfallszeiten mitteln über die Resonator-Umlaufzeit t R T . {\displaystyle t_{\rm {RT}}.} cite-ref-pollnau2020-5-7[5] Im Folgenden nehmen wir an, dass ℓ ℓ {\displaystyle \ell } , n {\displaystyle n} , R 1 {\displaystyle R_{1}} , R 2 {\displaystyle R_{2}} und L R T {\displaystyle L_{\rm {RT}}} und daher auch τ τ a u s {\displaystyle \tau _{\rm {aus}}} , τ τ v e r l {\displaystyle \tau _{\rm {verl}}} und τ τ c {\displaystyle \tau _{\rm {c}}} sich innerhalb des Spektralbereichs, der für die Laser-Linienbreite von Interesse ist, nicht wesentlich ändern.

Neben der Resonatorabklingzeit τ τ c {\displaystyle \tau _{\rm {c}}} kann man die spektralen Kohärenz-Eigenschaften der passiven Resonator-Mode äquivalent durch folgende Parameter ausdrücken. Die FWHM-Lorentz-Linienbreite Δ Δ ν ν c {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}} der passiven Resonator-Mode, die in der Schawlow-Townes-Gleichung auftritt, erhält man durch Fourier-Transformation der exponentiellen Resonatorabklingzeit τ τ c {\displaystyle \tau _{\rm {c}}} in den Frequenzraum,cite-ref-ismailpollnau2016-6-4[6]cite-ref-pollnau2020-5-8[5]

Δ Δ ν ν c = 1 2 π π τ τ c . {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.}

Der Qualitätsfaktor (Q-Faktor) Q c {\displaystyle Q_{\rm {c}}} ist definiert als die Energie W s p e i c h {\displaystyle W_{\rm {speich}}} , die im Resonator gespeichert ist, geteilt durch die Energie W l o s t {\displaystyle W_{\rm {lost}}} , die pro Oszillationszyklus des Lichts verloren geht,cite-ref-pollnau2020-5-9[5]

Q c = 2 π π W s p e i c h ( t ) W l o s t ( t ) = 2 π π φ φ ( t ) − − 1 ν ν L d d t φ φ ( t ) = 2 π π ν ν L τ τ c = ν ν L Δ Δ ν ν c , {\displaystyle Q_{\rm {c}}=2\pi {\frac {W_{\rm {speich}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {c}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {c}}}},}

wobei φ φ = W s p e i c h / h ν ν L {\displaystyle \varphi =W_{\rm {speich}}/h\nu _{L}} die Zahl der Photonen in der Resonator-Mode ist. Die Kohärenzzeit τ τ c c o h {\displaystyle \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}} und die Kohärenzlänge ℓ ℓ c c o h {\displaystyle \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}} des Lichts, das aus der Resonator-Mode emittiert wird, sind gegeben durch die Gleichungcite-ref-pollnau2020-5-10[5]

τ τ c c o h = 1 c ℓ ℓ c c o h = 2 τ τ c . {\displaystyle \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {c}}.}

Unter Berücksichtigung der Besetzungsdichten N 2 {\displaystyle N_{2}} und N 1 {\displaystyle N_{1}} des oberen und unteren Laser-Niveaus und der effektiven Wirkungsquerschnitte σ σ e {\displaystyle \sigma _{\rm {e}}} und σ σ a {\displaystyle \sigma _{\rm {a}}} der stimulierten Emission und der Absorption auf der Resonanz-Frequenz ν ν L {\displaystyle \nu _{L}} ergibt sich die Verstärkung pro Längeneinheit im aktiven Laser-Medium auf der Resonanz-Frequenz ν ν L {\displaystyle \nu _{L}} zucite-ref-pollnau2020-5-11[5]

g = σ σ e N 2 − − σ σ a N 1 . {\displaystyle g=\sigma _{\mathrm {e} }N_{2}-\sigma _{\mathrm {a} }N_{1}.}

Ein Wert g > 0 {\displaystyle g>0} bedeutet Verstärkung auf der Resonanz-Frequenz ν ν L {\displaystyle \nu _{L}} , während ein Wert g < 0 {\displaystyle g<0} Absorption bedeutet. Dies resultiert in einer entsprechend verlängerten oder verkürzten Resonatorabklingzeit τ τ L {\displaystyle \tau _{\rm {L}}} , mit der die Photonen sich aus der aktiven Resonator-Mode entfernen:cite-ref-pollnau2020-5-12[5]

1 τ τ L = 1 τ τ c − − c g . {\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {L}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}-cg.}

Die anderen vier Eigenschaften der spektralen Kohärenz der aktiven Resonator-Mode erhält man in derselben Weise wie für die passive Resonator-Mode. Die Lorentz-Linienbreite ergibt sich durch Fourier-Transformation in den Frequenzraum,cite-ref-pollnau2020-5-13[5]

Δ Δ ν ν L = 1 2 π π τ τ L . {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {L}}}}.}

Ein Wert g > 0 {\displaystyle g>0} führt zu Verstärkungsreduzierung der Linienbreite, während ein Wert g < 0 {\displaystyle g<0} zu Absorptionsverbreiterung führt. Der Q-Faktor beträgtcite-ref-pollnau2020-5-14[5]

Q L = 2 π π W s p e i c h ( t ) W l o s t ( t ) = 2 π π φ φ ( t ) − − 1 ν ν L d d t φ φ ( t ) = 2 π π ν ν L τ τ L = ν ν L Δ Δ ν ν L . {\displaystyle Q_{\rm {L}}=2\pi {\frac {W_{\rm {speich}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L}}}}.}

Die Kohärenzzeit und -länge betragencite-ref-pollnau2020-5-15[5]

τ τ L c o h = 1 c ℓ ℓ L c o h = 2 τ τ L . {\displaystyle \tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {L}}.}

Der Faktor, um den die Resonatorabklingzeit durch Verstärkung verlängert oder durch Absorption verkürzt wird, wird hier als sogenannter spektraler Kohärenzfaktor Λ Λ {\displaystyle \Lambda } eingeführt:cite-ref-pollnau2020-5-16[5]

Λ Λ := 1 1 − − c g τ τ c . {\displaystyle \Lambda :={\frac {1}{1-cg\tau _{\rm {c}}}}.}

Alle fünf oben eingeführten Parameter, die gleichbedeutend die spektrale Kohärenz beschreiben, skalieren mit demselben spektralen Kohärenzfaktor Λ Λ {\displaystyle \Lambda } :cite-ref-pollnau2020-5-17[5]

τ τ L = Λ Λ τ τ c , ( Δ Δ ν ν L ) − − 1 = Λ Λ ( Δ Δ ν ν c ) − − 1 , Q L = Λ Λ Q c , τ τ L c o h = Λ Λ τ τ c c o h , ℓ ℓ L c o h = Λ Λ ℓ ℓ c c o h . {\displaystyle \tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}},(\Delta \nu _{\rm {L}})^{-1}=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},Q_{\rm {L}}=\Lambda Q_{\rm {c}},\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.}

Für eine gegebene Zahl φ φ {\displaystyle \varphi } an Photonen, die sich in der lasenden Resonator-Mode befinden, lauten die stimulierte Emissionsrate und Resonator-Abklingrate:cite-ref-pollnau2020-5-18[5]

R s t i m = c g φ φ , {\displaystyle R_{\rm {stim}}=cg\varphi ,}

R a b k l i n g = 1 τ τ c φ φ . {\displaystyle R_{\rm {abkling}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .}

Der spektrale Kohärenzfaktor beträgt somitcite-ref-pollnau2020-5-19[5]

Λ Λ = R a b k l i n g R a b k l i n g − − R s t i m . {\displaystyle \Lambda ={\frac {R_{\rm {abkling}}}{R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}}.}

Die Resonatorabklingzeit der lasenden Resonator-Mode beträgtcite-ref-pollnau2020-5-20[5]

τ τ L = Λ Λ τ τ c = R a b k l i n g R a b k l i n g − − R s t i m τ τ c . {\displaystyle \tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}}{R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}}\tau _{\rm {c}}.}

Die fundamentale Laser-Linienbreite beträgtcite-ref-pollnau2020-5-21[5]

Δ Δ ν ν L = 1 Λ Λ Δ Δ ν ν c = R a b k l i n g − − R s t i m R a b k l i n g Δ Δ ν ν c . {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.}

Diese fundamentale Linienbreite gilt für Laser mit beliebigem Energie-Niveau-Schema (Vier- oder Drei-Niveau-Schema oder irgendeine Situation zwischen diesen beiden Extremen), im Betrieb unterhalb, an, und oberhalb der Laser-Schwelle, einer Verstärkung, die kleiner, gleich, oder größer als die Verluste ist, und in einem CW- oder transienten Laser-Regime.cite-ref-pollnau2020-5-22[5]

Aus dieser Herleitung wird deutlich, dass die fundamentale Linienbreite eines CW-Lasers auf dem semi-klassischen Effekt beruht, dass die Verstärkung die Resonatorabklingzeit verlängert.cite-ref-pollnau2020-5-23[5]

Die spontane Emissionsrate in die lasende Resonator-Mode hinein ist gegeben durchcite-ref-pollnau2020-5-24[5]

R s p o n = c σ σ e N 2 . {\displaystyle R_{\rm {spon}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}.}

Es ist zu beachten, dass R s p o n {\displaystyle R_{\rm {spon}}} grundsätzlich eine positive Rate ist, weil bei jedem einzelnen Emissionsprozess eine atomare Anregung in ein Photon in der Laser-Mode umgewandelt wird.cite-ref-pollnau2018-7-0[7]cite-ref-pollnau2020-5-25[5] Diese Rate ist der Quellterm der Laserstrahlung und darf keinesfalls als „Rauschen“ missinterpretiert werden.cite-ref-pollnau2020-5-26[5] Die Photonen-Ratengleichung für eine einzelne Laser-Mode ergibt sich alscite-ref-pollnau2020-5-27[5]

d d t φ φ = R s p o n + R s t i m − − R a b k l i n g = c σ σ e N 2 + c g φ φ − − 1 τ τ c φ φ . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi =R_{\rm {spon}}+R_{\rm {stim}}-R_{\rm {abkling}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}+cg\varphi -{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .}

Ein CW-Laser zeichnet sich durch eine zeitlich konstante Photonenzahl in der Laser-Mode aus. Daher ist d φ φ / d t = 0 {\displaystyle d\varphi /dt=0} . In einem CW-Laser kompensieren die stimulierte und spontane Emissionsrate gemeinsam die Resonator-Abklingrate. Daher istcite-ref-pollnau2020-5-28[5]

R s t i m − − R a b k l i n g = − − R s p o n < 0. {\displaystyle R_{\rm {stim}}-R_{\rm {abkling}}=-R_{\rm {spon}}<0.}

Die stimulierte Emissionsrate ist kleiner als die Resonator-Abklingrate. Anders ausgedrückt: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste.cite-ref-pollnau2020-5-29[5] Diese Tatsache ist seit Jahrzehnten bekannt und wurde dazu ausgenutzt, das Verhalten von Halbleiter-Lasern an der Laser-Schwelle quantitativ zu beschreiben.cite-ref-sommers1974-8-0[8]cite-ref-sommers1982-9-0[9]cite-ref-siegman1986-10-0[10]cite-ref-bjork1991-11-0[11] Selbst weit oberhalb der Laser-Schwelle ist die Verstärkung immer noch minimal kleiner als die Verluste. Es ist genau dieser extrem kleine Unterschied, der die endliche Linienbreite eines CW-Lasers hervorruft.cite-ref-pollnau2020-5-30[5]

Aus dieser Herleitung wird klar, dass ein Laser grundlegend ein Verstärker spontaner Emission ist und die CW-Laser-Linienbreite durch den semi-klassischen Effekt hervorgerufen wird, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste.cite-ref-pollnau2020-5-31[5] Auch in quantenoptischen Beschreibungen der Laser-Linienbreite,cite-ref-sarget1993-12-0[12] die auf der Dichteoperator-Hauptgleichung beruhen, kann gezeigt werden, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste.cite-ref-pollnau2020-5-32[5]

Siehe auch

:

Schawlow-Townes-Limit

Wie oben bereits erwähnt, wird aus ihrer historischen Herleitung klar, dass die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung der fundamentalen Laser-Linienbreite ist. Ausgehend von der fundamentalen Laser-Linienbreite Δ Δ ν ν L {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}} , die oben hergeleitet wurde, erhält man durch explizite Anwendung der vier Näherungen (i)-(iv) genau die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung:

(i) Es ist ein reiner CW-Laser. Entsprechend giltcite-ref-pollnau2020-5-33[5]

R a b k l i n g − − R s t i m = R s p o n ⇒ ⇒ {\displaystyle R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}=R_{\rm {spon}}\Rightarrow }

Δ Δ ν ν L = 1 Λ Λ Δ Δ ν ν c = R a b k l i n g − − R s t i m R a b k l i n g Δ Δ ν ν c = R s p o n R a b k l i n g Δ Δ ν ν c . {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {spon}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.}

(ii) Es ist ein idealer Vier-Niveau-Laser. Entsprechend giltcite-ref-pollnau2020-5-34[5]

N 1 = 0 ⇒ ⇒ c g = c ( σ σ e N 2 − − σ σ a N 1 ) = c σ σ e N 2 = R s p o n ⇒ ⇒ {\displaystyle N_{1}=0\Rightarrow cg=c(\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1})=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}=R_{\rm {spon}}\Rightarrow }

Δ Δ ν ν L = R s p o n R a b k l i n g Δ Δ ν ν c = c g 1 τ τ c φ φ Δ Δ ν ν c . {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {R_{\rm {spon}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}.}

(iii) Intrinsische Resonator-Verluste sind vernachlässigbar. Entsprechend giltcite-ref-pollnau2020-5-35[5]

1 τ τ v e r l = 0 ⇒ ⇒ 1 τ τ c = 1 τ τ a u s ⇒ ⇒ P a u s = h ν ν L 1 τ τ a u s φ φ = h ν ν L 1 τ τ c φ φ ⇒ ⇒ {\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}=0\ \Rightarrow \ {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}\Rightarrow P_{\rm {aus}}=h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}\varphi =h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi \ \Rightarrow }

Δ Δ ν ν L = c g 1 τ τ c φ φ Δ Δ ν ν c = c g h ν ν L P a u s Δ Δ ν ν c . {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {aus}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.}

(iv) Genau ein Photon wird während der Resonatorabklingzeit τ τ c {\displaystyle \tau _{\rm {c}}} durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt. Geschehen würde dies in einem idealen Vier-Niveau-CW-Laser genau an dem unerreichbaren Punkt, an dem der spektrale Kohärenz-Faktor Λ Λ {\displaystyle \Lambda } , die Photonenzahl φ φ {\displaystyle \varphi } in der Resonator-Mode und die Ausgangsleistung P a u s {\displaystyle P_{\rm {aus}}} unendlich groß werden, also an dem Punkt, an dem die Verstärkung gleich den Verlusten würde. Entsprechend giltcite-ref-pollnau2020-5-36[5]

R s t i m = R a b k l i n g ⇒ ⇒ R s p o n = c g = 1 τ τ c = 2 π π Δ Δ ν ν c ⇒ ⇒ {\displaystyle R_{\rm {stim}}=R_{\rm {abkling}}\Rightarrow R_{\rm {spon}}=cg={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}=2\pi \Delta \nu _{\rm {c}}\Rightarrow }

Δ Δ ν ν L = c g h ν ν L P a u s Δ Δ ν ν c = 2 π π h ν ν L ( Δ Δ ν ν c ) 2 P a u s = Δ Δ ν ν L , S T . {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {aus}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}=\Delta \nu _{\rm {L,ST}}.}

Das heißt, wenn man dieselben vier Näherungen (i)-(iv), die bereits in der ersten Herleitung benutzt wurden,cite-ref-gordon1955-2-7[2]cite-ref-schawlow1958-4-4[4] auf die fundamentale Laser-Linienbreite Δ Δ ν ν L {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}} anwendet, erhält man konsequenterweise die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung.cite-ref-pollnau2020-5-37[5]

Zusammenfassend lautet die fundamentale Laser-Linienbreitecite-ref-pollnau2020-5-38[5]

Δ Δ ν ν L = 1 Λ Λ Δ Δ ν ν c = R a b k l i n g − − R s t i m R a b k l i n g Δ Δ ν ν c = ( 1 − − c g τ τ c ) Δ Δ ν ν c = Δ Δ ν ν c − − c g 2 π π , {\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}=(1-cg\tau _{\rm {c}})\Delta \nu _{\rm {c}}=\Delta \nu _{\rm {c}}-{\frac {cg}{2\pi }},}

während die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung dieser fundamentalen Laser-Linienbreite und daher hauptsächlich von historischer Bedeutung ist.

Nach ihrer Veröffentlichung im Jahr 1958 wurde die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichungcite-ref-schawlow1958-4-5[4] auf verschiedene Weisen erweitert. Diese erweiterten Gleichungen werden oftmals mit demselben Namen bezeichnet, nämlich der Schawlow-Townes-Linienbreite. Dadurch ist in der publizierten Literatur zur Laser-Linienbreite durchaus Konfusion entstanden, da oft unklar ist, welche Erweiterung der ursprünglichen Schawlow-Townes-Gleichung die jeweiligen Autoren betrachten oder benutzen.

Einige semi-klassische Erweiterungen hatten zum Ziel, eine oder mehrere der oben genannten Näherungen (i)-(iv) zu eliminieren, wodurch diese erweiterten Gleichungen der oben hergeleiteten fundamentalen Laser-Linienbreite in ihrem physikalischen Gehalt ähnlicher wurden.

Folgende mögliche Erweiterungen der fundamentalen Laser-Linienbreite wurden vorgeschlagen:

1. Hempstead und Lax,cite-ref-hempstead1967-13-0[13] sowie unabhängig Hermann Haken,cite-ref-haken1970-14-0[14] sagten quantenmechanisch vorher, dass nahe der Laser-Schwelle eine zusätzliche Reduzierung der Laser-Linienbreite um einen Faktor zwei auftritt. Allerdings wurde eine solche Reduzierung nur in ganz wenigen Fällen experimentell beobachtet.

2. Petermann erklärte semi-klassisch eine zuvor experimentell beobachtete Linienverbreiterung in durch optische Verstärkung anstatt durch einen Brechungsindex-Unterschied wellenleitenden Halbleiter-Lasern.cite-ref-petermann1979-15-0[15] Siegman zeigte später, dass dieser Effekt durch die Nicht-Orthogonalität transversaler Moden hervorgerufen wird.cite-ref-siegman1989a-16-0[16]cite-ref-siegman1989b-17-0[17] Woerdman und Mitarbeiter erweiterten diese Idee auf longitudinale Modencite-ref-hamel1989-18-0[18] und Polarizationsmoden.cite-ref-vanderlee1997-19-0[19] Daher wird manchmal der sogenannte „Petermann-K-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.

3. Henry sagte quantenmechanisch eine zusätzliche Linienverbreiterung vorher, die dadurch auftritt, dass Variationen des Brechungsindex aufgrund von Elektron-Loch-Paar-Anregungen in Halbleiter-Lasern (aber natürlich auch in allen anderen Anregungsprozessen) Phasenvariationen im Resonator-Umlauf bewirken.cite-ref-henry1982-20-0[20] Daher wird manchmal der sogenannte „Henry- α α {\displaystyle \alpha } -Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.

Eine der ersten Methoden zur Messung der spektralen Kohärenz eines Lasers war die Interferometrie.cite-ref-21[21] Eine typische Methode zur Messung der Laser-Linienbreite ist selbst-heterodyne Interferometrie.cite-ref-okoshi1980-22-0[22]cite-ref-dawson1992-23-0[23]

Seltenerd-dotierte dielektrische oder Halbleiter-basierte Laser mit verteilter Rückkopplung durch integrierte Bragg-Spiegel haben typische Linienbreiten in der Größenordnung von 1 kHz.cite-ref-bernhardi2010-24-0[24]cite-ref-santis2014-25-0[25] Die Laser-Linienbreite stabilisierter CW-Laser kann weit weniger als 1 kHz betragen.cite-ref-26[26] Beobachtete Linienbreiten sind größer als die fundamentale Laser-Linienbreite, da technische Einflüsse auftreten (z. B. zeitliche Fluktuationen der optischen oder elektrischen Pumpleistung, mechanische Vibrationen, Brechungsindex- und Längenänderungen aufgrund von Temperaturschwankungen usw.).

cite-note-gordon1954-11. ↑ J. P. Gordon, H. J. Zeiger, C. H. Townes: Molecular microwave oscillator and new hyperfine structure in the microwave spectrum of NH3. In: Physical Review. 95. Jahrgang, Nr. 1, 1954, S. 282–284, doi:10.1103/PhysRev.95.282.

cite-note-gordon1955-22. ↑ J. P. Gordon, H. J. Zeiger, C. H. Townes: The maser−New type of microwave amplifier, frequency standard, and spectrometer. In: Physical Review. 99. Jahrgang, Nr. 4, 1955, S. 1264–1274, doi:10.1103/PhysRev.99.1264.

cite-note-maiman1960-33. ↑ T. H. Maiman: Stimulated optical radiation in Ruby. In: Nature. 187. Jahrgang, Nr. 4736, 1960, S. 493–494, doi:10.1038/187493a0.

cite-note-schawlow1958-44. ↑ A. L. Schawlow, C. H. Townes: Infrared and optical masers. In: Physical Review. 112. Jahrgang, Nr. 6, 1958, S. 1940–1949, doi:10.1103/PhysRev.112.1940.

cite-note-pollnau2020-55. ↑ M. Pollnau, M. Eichhorn: Spectral coherence, Part I: Passive resonator linewidth, fundamental laser linewidth, and Schawlow-Townes approximation. In: Progress in Quantum Electronics. In press. Jahrgang, Journal Pre-proof, 2020, S. 100255, doi:10.1016/j.pquantelec.2020.100255.

cite-note-ismailpollnau2016-66. ↑ N. Ismail, C. C. Kores, D. Geskus, M. Pollnau: Fabry-Pérot resonator: spectral line shapes, generic and related Airy distributions, linewidths, finesses, and performance at low or frequency-dependent reflectivity. In: Optics Express. 24. Jahrgang, Nr. 15, 2016, S. 16366–16389, doi:10.1364/OE.24.016366, PMID 27464090, bibcode:2016OExpr..2416366I (diva-portal.org).

cite-note-pollnau2018-77. ↑ M. Pollnau: Phase aspect in photon emission and absorption. In: Optica. 5. Jahrgang, Nr. 4, 2018, S. 465–474, doi:10.1364/OPTICA.5.000465.

cite-note-sommers1974-88. ↑ H. S. Sommers: Spontaneous power and the coherent state of injection lasers. In: Journal of Applied Physics. 45. Jahrgang, Nr. 4, 1974, S. 1787–1793, doi:10.1063/1.1663491.

cite-note-sommers1982-99. ↑ H. S. Sommers: Threshold and oscillation of injection lasers: a critical review of laser theory. In: Solid-State Electronics. 25. Jahrgang, Nr. 1, 1982, S. 25–44, doi:10.1016/0038-1101(82)90091-0.

cite-note-siegman1986-1010. ↑ Siegman, A. E. (1986) Lasers, University Science Books, Mill Valley, California, ch. 13, pp. 510–524.

cite-note-bjork1991-1111. ↑ G. Björk, Y. Yamamoto: Analysis of semiconductor microcavity lasers using rate equations. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. 27. Jahrgang, Nr. 11, 1991, S. 2386–2396, doi:10.1109/3.100877.

cite-note-sarget1993-1212. ↑ Sargent III, M.; Scully, M. O.; Lamb, Jr., W. E. (1993) „Laser Physics“, 6th edition, Westview Press, Ch. 17.

cite-note-hempstead1967-1313. ↑ R. D. Hempstead, M. Lax: Classical noise. VI. Noise in self-sustained oscillators near threshold. In: Physical Review. 161. Jahrgang, Nr. 2, 1967, S. 350–366, doi:10.1103/PhysRev.161.350.

cite-note-haken1970-1414. ↑ Haken, H. (1970) „Laser Theory“, Vol. XXV/2c of Encyclopedia of Physics, Springer.

cite-note-petermann1979-1515. ↑ K. Petermann: Calculated spontaneous emission factor for double-heterostructure injection lasers with gain-induced waveguiding. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. QE-15. Jahrgang, Nr. 7, 1979, S. 566–570, doi:10.1109/JQE.1979.1070064.

cite-note-siegman1989a-1616. ↑ A. E. Siegman: Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. I. Laser amplifiers. In: Physical Review A. 39. Jahrgang, Nr. 3, 1989, S. 1253–1263, doi:10.1103/PhysRevA.39.1253, PMID 9901361.

cite-note-siegman1989b-1717. ↑ A. E. Siegman: Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. II. Laser oscillators. In: Physical Review A. 39. Jahrgang, Nr. 3, 1989, S. 1264–1268, doi:10.1103/PhysRevA.39.1264, PMID 9901362.

cite-note-hamel1989-1818. ↑ W. A. Hamel, J. P. Woerdman: Nonorthogonality of the longitudinal eigenmodes of a laser. In: Physical Review A. 40. Jahrgang, Nr. 5, 1989, S. 2785–2787, doi:10.1103/PhysRevA.40.2785, PMID 9902474.

cite-note-vanderlee1997-1919. ↑ A. M. van der Lee, N. J. van Druten, A. L. Mieremet, M. A. van Eijkelenborg, Å. M. Lindberg, M. P. van Exter, J. P. Woerdman: Excess quantum noise due to nonorthogonal polarization modes. In: Physical Review Letters. 79. Jahrgang, Nr. 5, 1989, S. 4357–4360, doi:10.1103/PhysRevA.40.2785, PMID 9902474.

cite-note-henry1982-2020. ↑ C. H. Henry: Theory of the linewidth of semiconductor lasers. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. 18. Jahrgang, Nr. 2, 1982, S. 259–264, doi:10.1109/JQE.1982.1071522.

cite-note-2121. ↑ O. S. Heavens, Optical Masers (Wiley, New York, 1963).

cite-note-okoshi1980-2222. ↑ T. Okoshi, K. Kikuchi, A. Nakayama: Novel method for high resolution measurement of laser output spectrum. In: Electronics Letters. 16. Jahrgang, Nr. 16, 1980, S. 630–631, doi:10.1049/el:19800437 (ieee.org).

cite-note-dawson1992-2323. ↑ J. W. Dawson, N. Park, K. J. Vahala: An improved delayed self-heterodyne interferometer for linewidth measurements. In: IEEE Photonics Technology Letters. 4. Jahrgang, Nr. 9, 1992, S. 1063–1066, doi:10.1109/68.157150.

cite-note-bernhardi2010-2424. ↑ E. H. Bernhardi, H. A. G. M. van Wolferen, L. Agazzi, M. R. H. Khan, C. G. H. Roeloffzen, K. Wörhoff, M. Pollnau, R. M. de Ridder: Ultra-narrow-linewidth, single-frequency distributed feedback waveguide laser in Al2O3:Er3+ on silicon. In: Optics Letters. 35. Jahrgang, Nr. 14, 2010, S. 2394–2396, doi:10.1364/OL.35.002394, PMID 20634841.

cite-note-santis2014-2525. ↑ C. T. Santis, S. T. Steger, Y. Vilenchik, A. Vasilyev, A. Yariv: High-coherence semiconductor lasers based on integral high-Q resonators in hybrid Si/III-V platforms. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 111. Jahrgang, Nr. 8, 2014, S. 2879–2884, doi:10.1073/pnas.1400184111, PMID 24516134, PMC 3939879 (freier Volltext).

cite-note-2626. ↑ L. W. Hollberg, CW dye lasers, in Dye Laser Principles, F. J. Duarte and L. W. Hillman (eds.) (Academic, New York, 1990) Chapter 5.